常微分方程 / 微分方程通解 / 常规计算与结论整理
$y^{\prime\prime\prime}=\sin 2x$ 的通解为____.
正确答案
$y=\dfrac18\cos 2x+C_1x^2+C_2x+C_3$
题目解析
对 $y''' = \sin 2x$ 逐次积分三次：
第一积分得 $y'' = \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C_1$；
第二积分得 $y' = \int \left(-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C_1\right)dx = -\dfrac{1}{4}\sin 2x + C_1 x + C_2$；
第三积分得 $y = \int \left(-\dfrac{1}{4}\sin 2x + C_1 x + C_2\right)dx = \dfrac{1}{8}\cos 2x + \dfrac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3$。
将任意常数重记为 $C_1, C_2, C_3$（其中 $\dfrac{C_1}{2}$ 仍为任意常数），通解为 $y = \dfrac{1}{8}\cos 2x + C_1 x^2 + C_2 x + C_3$。故答案为 $\dfrac{1}{8}\cos 2x + C_1 x^2 + C_2 x + C_3$。
第一积分得 $y'' = \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C_1$；
第二积分得 $y' = \int \left(-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C_1\right)dx = -\dfrac{1}{4}\sin 2x + C_1 x + C_2$；
第三积分得 $y = \int \left(-\dfrac{1}{4}\sin 2x + C_1 x + C_2\right)dx = \dfrac{1}{8}\cos 2x + \dfrac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3$。
将任意常数重记为 $C_1, C_2, C_3$（其中 $\dfrac{C_1}{2}$ 仍为任意常数），通解为 $y = \dfrac{1}{8}\cos 2x + C_1 x^2 + C_2 x + C_3$。故答案为 $\dfrac{1}{8}\cos 2x + C_1 x^2 + C_2 x + C_3$。