无穷级数 / 幂级数和函数 / 比较、比值、交错或幂级数收敛判别
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n}$ 的和函数。
正确答案
$S(x)=-x\ln(1-x),\ x\in(-1,1)$
题目解析
当 $|x|<1$ 时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$，故 $S(x)=x\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}=-x\ln(1-x)$。端点 $x=-1$ 时交错调和级数收敛，$x=1$ 时发散，故 $-1\le x<1$。