无穷级数 / 幂级数展开与收敛域 / 比较、比值、交错或幂级数收敛判别
设幂级数 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ 与 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_nx^n$ 的收敛半径分别为 $\dfrac{\sqrt5}{3}$ 与 $\dfrac13$，则 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n^2}{b_n^2}x^n$ 的收敛半径是
正确答案
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题目解析
$R_a=\dfrac{\sqrt5}{3}$，$R_b=\dfrac13$，则 $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac3{\sqrt5}$，$\limsup\sqrt[n]{|b_n|}=3$。因此 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n^2}{b_n^2}x^n$ 的系数根值为 $\dfrac{(3/\sqrt5)^2}{3^2}=\dfrac15$，故收敛半径为 $5$。