【答案】A。【解析】函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处取极值的必要条件是：若一阶偏导数存在，则必有 $f'_x(x_0,y_0)=0$ 且 $f'_y(x_0,y_0)=0$，即梯度为零向量。选项 A 正确表述了该必要条件。选项 B 错误：唯一极值点不一定是全局最小值点，例如在无界区域中可能存在下无界情形；选项 C 和 D 描述的是二阶充分条件，其中 C 对应极小值的充分条件（Hessian 行列式大于 0 且 $f''_{xx}>0$），D 对应极大值的充分条件（$f''_{xx}<0$），但题干仅给出“取极小值”这一结论，并未说明是否满足二阶条件，故 C、D 是充分而非必要条件，不能作为必然成立的结论；因此唯一恒成立的必要条件是 A。