综合题与应用题 / 构造辅助函数证明 / 常规计算与结论整理
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 内连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=\dfrac12$。证明：存在两个不同点 $\xi_1,\xi_2\in(0,1)$，使得 $f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=1$ 成立。
正确答案
在 $[0,\frac12]$ 与 $[\frac12,1]$ 上分别用拉格朗日中值定理。
题目解析
在 $[0,\frac12]$ 上存在 $\xi_1$，使 $f(\frac12)-f(0)=\frac12f'(\xi_1)$；在 $[\frac12,1]$ 上存在 $\xi_2$，使 $f(1)-f(\frac12)=\frac12f'(\xi_2)$。两式相加得 $f(1)-f(0)=\frac12[f'(\xi_1)+f'(\xi_2)]$，故结论成立。