函数、极限与连续 / 奇偶性判断 / 概念辨析或快速代入排除
下列函数为奇函数的是（ ）
正确答案
D
题目解析
【解】逐项判断奇偶性：
A. $f(x)=x^3\sin x$，因 $x^3$ 与 $\sin x$ 均为奇函数，奇×奇=偶，故 $f(-x)=f(x)$，为偶函数；
B. $f(x)=\cos(\sin x)$，$\sin x$ 为奇，$\cos$ 为偶，故 $f(-x)=\cos(\sin(-x))=\cos(-\sin x)=\cos(\sin x)=f(x)$，为偶函数；
C. $f(x)=(5^x+5^{-x})^3$，$5^x+5^{-x}$ 为偶函数，偶函数的整数次幂仍为偶函数，故 $f(-x)=f(x)$；
D. $f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1}$，计算 $f(-x)=\frac{3^{-x}-1}{3^{-x}+1}=\frac{1-3^x}{1+3^x}=-\frac{3^x-1}{3^x+1}=-f(x)$，满足奇函数定义。故选 D。
A. $f(x)=x^3\sin x$，因 $x^3$ 与 $\sin x$ 均为奇函数，奇×奇=偶，故 $f(-x)=f(x)$，为偶函数；
B. $f(x)=\cos(\sin x)$，$\sin x$ 为奇，$\cos$ 为偶，故 $f(-x)=\cos(\sin(-x))=\cos(-\sin x)=\cos(\sin x)=f(x)$，为偶函数；
C. $f(x)=(5^x+5^{-x})^3$，$5^x+5^{-x}$ 为偶函数，偶函数的整数次幂仍为偶函数，故 $f(-x)=f(x)$；
D. $f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1}$，计算 $f(-x)=\frac{3^{-x}-1}{3^{-x}+1}=\frac{1-3^x}{1+3^x}=-\frac{3^x-1}{3^x+1}=-f(x)$，满足奇函数定义。故选 D。