多元函数微积分 / 曲线积分 / 参数化或格林公式
已知椭圆L为$\frac{x^{2}}{1 6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$，且方向为逆时针方向，则$\oint_{L} \left(y + e^{x}\right) d x + \left(2 x + \cos y + 2 y\right) d y =$__________.
正确答案
$8 \pi$
题目解析
设$P(x,y)=y+e^x$，$Q(x,y)=2x+\cos y+2y$，则$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2$，$\dfrac{\partial P}{\partial y}=1$，故$\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1$。椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$围成的区域$D$面积为$\pi\cdot4\cdot2=8\pi$。由格林公式，$$\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma=\iint_D 1\,d\sigma=8\pi$$。