常微分方程 / 微分方程特解 / 常规计算与结论整理
已知微分方程$y''-3y'-4y=0$，且满足$\left.y\right|_{x=0}=0$，$\left.y'\right|_{x=0}=-5$，求特解.
正确答案
微分方程对应的特征方程为$r^{2} - 3 r - 4 = \left(r - 4\right) \left(r + 1\right) = 0$，解得特征根$r_{1} = 4 , r_{2} = - 1$，
所以微分方程的通解为$y = C_{1} e^{4 x} + C_{2} e^{- x}$，求导得$y ' = 4 C_{1} e^{4 x} - C_{2} e^{- x}$，
将初始条件代入$y$与$y '$，得$\left\{\right. C_{1} + C_{2} = 0 \\ 4 C_{1} - C_{2} = - 5$，解得$C_{1} = - 1 , C_{2} = 1$，
故所求特解为$y = - e^{4 x} + e^{- x}$.
所以微分方程的通解为$y = C_{1} e^{4 x} + C_{2} e^{- x}$，求导得$y ' = 4 C_{1} e^{4 x} - C_{2} e^{- x}$，
将初始条件代入$y$与$y '$，得$\left\{\right. C_{1} + C_{2} = 0 \\ 4 C_{1} - C_{2} = - 5$，解得$C_{1} = - 1 , C_{2} = 1$，
故所求特解为$y = - e^{4 x} + e^{- x}$.
题目解析
微分方程 $y'' - 3y' - 4y = 0$ 是二阶常系数齐次线性微分方程。其特征方程为 $r^2 - 3r - 4 = 0$，因式分解得 $(r - 4)(r + 1) = 0$，解得特征根 $r_1 = 4$，$r_2 = -1$，二者为互异实根，故通解为 $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x}$。对通解求导得 $y' = 4C_1 e^{4x} - C_2 e^{-x}$。将初始条件 $y(0) = 0$、$y'(0) = -5$ 代入：
$$
\begin{cases}
C_1 + C_2 = 0 \\
4C_1 - C_2 = -5
\end{cases}
$$
解得 $C_1 = -1$，$C_2 = 1$。因此所求特解为 $y = -e^{4x} + e^{-x}$。
$$
\begin{cases}
C_1 + C_2 = 0 \\
4C_1 - C_2 = -5
\end{cases}
$$
解得 $C_1 = -1$，$C_2 = 1$。因此所求特解为 $y = -e^{4x} + e^{-x}$。