一元函数微分学 / 凹凸性与拐点 / 概念辨析或快速代入排除
曲线$y = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 5$的拐点为__________.
正确答案
$\left(1 , 1\right)$
题目解析
【解析】拐点需满足二阶导数变号,先求导:$$y = 2x^3 - 6x^2 + 5,\quad y' = 6x^2 - 12x,\quad y'' = 12x - 12 = 12(x - 1)$$令 $y'' = 0$,得 $x = 1$。当 $x < 1$ 时,$y'' < 0$,曲线凹向下;当 $x > 1$ 时,$y'' > 0$,曲线凹向上,故 $x = 1$ 为拐点横坐标。代入原函数得纵坐标:$$y(1) = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 5 = 2 - 6 + 5 = 1$$故拐点为 $(1, 1)$。故答案为 $(1, 1)$。