极限$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+1)\arctan\frac{1}{x^2+4y^2}$中，因$(x,y)\to(0,0)$时，$x^2+4y^2\to 0^+$，故$\dfrac{1}{x^2+4y^2}\to +\infty$，从而$\arctan\dfrac{1}{x^2+4y^2}\to \dfrac{\pi}{2}$；又$x+1\to 1$，由极限乘法定理得原式$=1\times\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}$。