积分区域 $D$ 由直线 $y = 0$、$y = 2x$ 及竖直线 $x = 1$、$x = 2$ 围成，是 $x$ 型区域：$1 \le x \le 2$，$0 \le y \le 2x$。因此
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\iint_D x^2 e^{-\frac{y}{x}}\,dx\,dy = \int_1^2 \int_0^{2x} x^2 e^{-\frac{y}{x}}\,dy\,dx.
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对内层关于 $y$ 积分，视 $x$ 为常数：
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\int_0^{2x} x^2 e^{-\frac{y}{x}}\,dy = x^2 \cdot \left[ -x e^{-\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=2x} = x^2 \cdot \left( -x e^{-2} + x \right) = x^3 (1 - e^{-2}).
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代入外层积分：
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\int_1^2 x^3 (1 - e^{-2})\,dx = (1 - e^{-2}) \int_1^2 x^3\,dx = (1 - e^{-2}) \cdot \left. \frac{x^4}{4} \right|_1^2 = (1 - e^{-2}) \cdot \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{15}{4}(1 - e^{-2}).
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