在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上，比较被积函数大小：首先，$\sin x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \subset (0,1)$，故 $\ln \sin x < 0$；$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right] \approx [0.5236, 1.0472] \subset (0,1)$，故 $\ln x < 0$；而 $\tan x \in \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right] \approx [0.577, 1.732]$，其中部分大于 1、部分小于 1，但注意到 $\tan x > x > \sin x$ 在该区间恒成立（因 $\tan x - x > 0$，$x - \sin x > 0$），且对数函数单调增，故 $\ln \sin x < \ln x < \ln \tan x$。又因区间长度为正，积分保序，得 $I < J < K$。故选 A。