一元函数积分学 / 面积与旋转体体积 / 常规计算与结论整理
把一根长为4m的铁丝分成两段，一段围成正方形，一段围成圆形，试求正方形的边长和圆的半径分别为多少时，两个图形的面积之和最小？
正确答案
设正方形的边长为$a$m，圆的半径为$r$m，则$4 a + 2 \pi r = 4$，即$a = 1 - \frac{\pi r}{2}$.
两图形的面积之和$S \left(r\right) = a^{2} + \pi r^{2} = \left(1 - \frac{\pi r}{2}\right)^{2} + \pi r^{2}$，$S ' \left(r\right) = 2 \left(1 - \frac{\pi r}{2}\right) \cdot \left(- \frac{\pi}{2}\right) + 2 \pi r = \frac{\pi^{2}}{2} r - \pi + 2 \pi r$，
令$S ' \left(r\right) = 0$，解得唯一驻点$r = \frac{2}{\pi + 4}$，此时$a = \frac{4}{\pi + 4}$.
由于驻点唯一且该实际问题最小值一定存在，所以当正方形的边长为$\frac{4}{4 + \pi}$m，圆的半径为$\frac{2}{4 + \pi}$m时，两个图形的面积之和最小.
两图形的面积之和$S \left(r\right) = a^{2} + \pi r^{2} = \left(1 - \frac{\pi r}{2}\right)^{2} + \pi r^{2}$，$S ' \left(r\right) = 2 \left(1 - \frac{\pi r}{2}\right) \cdot \left(- \frac{\pi}{2}\right) + 2 \pi r = \frac{\pi^{2}}{2} r - \pi + 2 \pi r$，
令$S ' \left(r\right) = 0$，解得唯一驻点$r = \frac{2}{\pi + 4}$，此时$a = \frac{4}{\pi + 4}$.
由于驻点唯一且该实际问题最小值一定存在，所以当正方形的边长为$\frac{4}{4 + \pi}$m，圆的半径为$\frac{2}{4 + \pi}$m时，两个图形的面积之和最小.
题目解析
设正方形边长为$a$（m），圆半径为$r$（m），则周长约束为$4a+2\pi r=4$，解得$a=1-\frac{\pi r}{2}$。总面积函数为$$S(r)=a^2+\pi r^2=\left(1-\frac{\pi r}{2}\right)^2+\pi r^2.$$展开得$S(r)=1-\pi r+\frac{\pi^2}{4}r^2+\pi r^2=1-\pi r+\left(\frac{\pi^2}{4}+\pi\right)r^2$。求导：$$S'(r)=-\pi+2\left(\frac{\pi^2}{4}+\pi\right)r=-\pi+\left(\frac{\pi^2}{2}+2\pi\right)r.$$令$S'(r)=0$，解得$$r=\frac{\pi}{\frac{\pi^2}{2}+2\pi}=\frac{2}{\pi+4}.$$代入得$a=1-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{2}{\pi+4}=\frac{4}{\pi+4}$。二阶导数$S''(r)=\frac{\pi^2}{2}+2\pi>0$，故为极小值点；结合实际意义，即为最小值点。因此当正方形边长为$\frac{4}{4+\pi}$ m、圆半径为$\frac{2}{4+\pi}$ m时，面积之和最小。