由 $f(x) = -2x$，得 $f(\tan x) = -2\tan x$；分母 $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$，故被积函数为 $$\frac{-2\tan x}{-\cos^2 x} = \frac{2\tan x}{\cos^2 x} = 2\tan x \sec^2 x.$$ 注意到 $(\tan^2 x)' = 2\tan x \cdot \sec^2 x$，因此 $$\int 2\tan x \sec^2 x\,dx = \tan^2 x + C.$$ 故选 A。选项 B 符号错误；C、D 中 $\cot x$ 的导数为 $-\csc^2 x$，与被积函数形式不符。