一元函数积分学 / 定积分计算 / 常规计算与结论整理
定积分$\displaystyle\int_0^1\frac{(\arctan\sqrt{x})^2}{(1+x)\sqrt{x}}\,dx=$_____________．
正确答案
$\dfrac{\pi^3}{96}$
题目解析
令$t=\arctan\sqrt{x}$，则$x=\tan^2t$，$dx=2\tan t\sec^2t dt$，分母$(1+x)\sqrt{x}=\sec^2t\tan t$，积分化为$2\int_0^{\pi/4}t^2dt=\pi^3/96$。