原方程$(1+x^2)dy-y^2dx=0$可分离变量：$$\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{1+x^2}.$$两边积分得$$\int y^{-2}dy=\int\frac{1}{1+x^2}dx\Rightarrow -\frac{1}{y}=\arctan x+C.$$由初始条件$y|_{x=1}=-\frac{2}{3}$，代入得$$-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\arctan 1+C\Rightarrow \frac{3}{2}=\frac{\pi}{4}+C\Rightarrow C=\frac{3}{2}-\frac{\pi}{4}.$$但此形式含$\pi$，与标准答案形式不符，说明应重新整理通解。更合理写法：由$-\frac{1}{y}=\arctan x+C$，得$y=-\frac{1}{\arctan x+C}$。代入$x=1,y=-\frac{2}{3}$：$$-\frac{2}{3}=-\frac{1}{\arctan 1+C}=-\frac{1}{\frac{\pi}{4}+C}\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{1}{\frac{\pi}{4}+C}\Rightarrow \frac{\pi}{4}+C=\frac{3}{2}\Rightarrow C=\frac{3}{2}-\frac{\pi}{4}.$$仍含$\pi$，而标准答案为有理分式，表明原方程可能被误读。重审原方程：$(1+x^2)dy-y^2dx=0$，即$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{1+x^2}$，分离变量正确。但标准答案$y=-\frac{x+1}{2x+1}$满足该方程吗？验证：令$y=-\frac{x+1}{2x+1}$，则$y'=-\frac{(2x+1)-(x+1)\cdot2}{(2x+1)^2}=-\frac{2x+1-2x-2}{(2x+1)^2}=\frac{1}{(2x+1)^2}$；而$\frac{y^2}{1+x^2}=\frac{(x+1)^2}{(2x+1)^2(1+x^2)}$，二者不等。【复核提示】标准答案$y=-\frac{x+1}{2x+1}$不满足原微分方程$(1+x^2)dy-y^2dx=0$，代入后左右两边不恒等；且由分离变量法所得通解必含$\arctan x$，不可能化为纯有理式。疑标准答案或题干有误。