综合题与应用题 / 实际应用建模 / 常规计算与结论整理
某文物于 1972 年 8 月发掘出土，经研究测算该文物出土时 ${}^{14}C$（放射性同位素碳-14）标本存量为初始量 $R_0$ 的 $0.7761$ 倍。已知 ${}^{14}C$ 的衰变速度与它的现存量成正比，且它的半衰期（由初始量 $R_0$ 衰变至 $\dfrac{R_0}{2}$ 所需要的时间）为 5730 年。
（1）试求 ${}^{14}C$ 的现存量与时间 $t$（年）的函数关系（其中涉及的对数不必写出具体数值）。
（2）计算该文物至 1972 年 8 月大约经历了多少年，能否认为该文物为西汉时期（公元前 202 年至公元 8 年）的作品？说明理由（计算结果取整数，$\ln2\approx0.6931$，$\ln0.7761\approx-0.2535$）。
（1）试求 ${}^{14}C$ 的现存量与时间 $t$（年）的函数关系（其中涉及的对数不必写出具体数值）。
（2）计算该文物至 1972 年 8 月大约经历了多少年，能否认为该文物为西汉时期（公元前 202 年至公元 8 年）的作品？说明理由（计算结果取整数，$\ln2\approx0.6931$，$\ln0.7761\approx-0.2535$）。
正确答案
（1）$R(t)=R_0e^{-\frac{\ln2}{5730}t}$。（2）约经历 $2096$ 年，年代约为公元前 $124$ 年，可认为是西汉时期作品。
题目解析
设 ${}^{14}C$ 的现存量为 $R(t)$，由衰变速度与现存量成正比，得 $\dfrac{dR}{dt}=-kR$，解得 $R(t)=R_0e^{-kt}$。由半衰期 $5730$ 年，得 $\dfrac{R_0}{2}=R_0e^{-5730k}$，所以 $k=\dfrac{\ln2}{5730}$，故 $R(t)=R_0e^{-\frac{\ln2}{5730}t}$。又 $0.7761R_0=R_0e^{-\frac{\ln2}{5730}t}$，所以 $t=-\dfrac{5730\ln0.7761}{\ln2}\approx-\dfrac{5730\times(-0.2535)}{0.6931}\approx2096$。$1972-2096=-124$，约为公元前 $124$ 年，在西汉时期（公元前 202 年至公元 8 年）内，故可认为该文物为西汉时期作品。