综合题与应用题 / 构造辅助函数证明 / 常规计算与结论整理
已知方程 $x^{11}-x^7-x^3+x=0$ 有一正根 $x=1$，证明方程 $11x^{10}-7x^6-3x^2+1=0$ 必有一个小于 $1$ 的正根。
正确答案
证明见解析。
题目解析
令 $F(x)=x^{11}-x^7-x^3+x$。则 $F(0)=F(1)=0$，且 $F$ 在 $[0,1]$ 上连续、在 $(0,1)$ 内可导。由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使 $F'(\xi)=0$，即 $11\xi^{10}-7\xi^6-3\xi^2+1=0$，故所给方程有一个小于 $1$ 的正根。