综合题与应用题 / 构造辅助函数证明 / 变限积分求导公式
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x)<1$，证明：方程 $2x-\displaystyle\int_0^x f(t)dt=1$ 在区间 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。
正确答案
证明见解析。
题目解析
设 $F(x)=2x-\int_0^x f(t)dt-1$，则 $F(0)=-1$，$F(1)=1-\int_0^1 f(t)dt>0$，故至少有一个零点。又 $F'(x)=2-f(x)>1>0$，所以 $F$ 严格单调递增，零点唯一。