【证明】令 $F(x)=\ln^2 x$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使 $\ln^2 b-\ln^2 a=\dfrac{2\ln\xi}{\xi}(b-a)$。设 $\varphi(x)=\dfrac{2\ln x}{x}$，则 $\varphi'(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}<0\ (x>e)$，故 $\varphi(x)$ 在 $(e,+\infty)$ 上单调递减。因 $e<a<\xi<b<e^2$，所以 $\dfrac{2\ln\xi}{\xi}>\dfrac{2\ln e^2}{e^2}=\dfrac4{e^2}$。因此 $\ln^2 b-\ln^2 a>\dfrac4{e^2}(b-a)$。