综合题与应用题 / 构造辅助函数证明 / 常规计算与结论整理
证明：$\forall x\ge0$，$m>0$ 恒有 $\ln(x^2+m)+\dfrac{m}{x^2+m}\ge1+\ln m$.
正确答案
令 $F(x)=\ln(x^2+m)+\dfrac{m}{x^2+m}-1-\ln m$，利用单调性得 $F(x)\ge F(0)=0$，故结论成立.
题目解析
【证明】令
$$F(x)=\ln(x^2+m)+\frac{m}{x^2+m}-1-\ln m,\quad x\ge0, m>0.$$
则
$$F'(x)=\frac{2x}{x^2+m}-\frac{2mx}{(x^2+m)^2}=\frac{2x^3}{(x^2+m)^2}\ge0.$$
所以 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不减，从而
$$F(x)\ge F(0)=\ln m+1-1-\ln m=0.$$
因此
$$\ln(x^2+m)+\frac{m}{x^2+m}\ge1+\ln m.$$
等号在 $x=0$ 时成立，原不等式得证。
$$F(x)=\ln(x^2+m)+\frac{m}{x^2+m}-1-\ln m,\quad x\ge0, m>0.$$
则
$$F'(x)=\frac{2x}{x^2+m}-\frac{2mx}{(x^2+m)^2}=\frac{2x^3}{(x^2+m)^2}\ge0.$$
所以 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不减，从而
$$F(x)\ge F(0)=\ln m+1-1-\ln m=0.$$
因此
$$\ln(x^2+m)+\frac{m}{x^2+m}\ge1+\ln m.$$
等号在 $x=0$ 时成立，原不等式得证。