综合题与应用题 / 构造辅助函数证明 / 常规计算与结论整理
设函数 $f(x),g(x)$ 均在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$f(a)=g(b)$，$f(b)=g(a)$，且 $f(a)\ne f(b)$。证明：存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=g(\xi)$。
正确答案
证明见解析。
题目解析
设 $F(x)=f(x)-g(x)$，则 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(a)=f(a)-f(b)$，$F(b)=f(b)-f(a)$。二者异号，由零点定理知存在 $\xi\in(a,b)$，使 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=g(\xi)$。