综合题与应用题 / 最值应用 / 常规计算与结论整理
某产品生产 $x$ 件的总成本函数为 $C(x)=\dfrac{2}{3}x^3-22x^2+8x+3500$，每件产品价格为 $30-\dfrac{x}{2}$，求产量为多少件时才能获得最大利润？
正确答案
当产量为 22 件时，可获得最大利润
题目解析
【解】生产并销售 $x$ 件产品时，总收入为
$$R(x)=x\left(30-\frac{x}{2}\right)=30x-\frac12x^2.$$
利润函数为
$$L(x)=R(x)-C(x)=-\frac23x^3+\frac{43}{2}x^2+22x-3500.$$
求导得
$$L'(x)=-2x^2+43x+22=-(2x+1)(x-22).$$
在实际范围 $x\ge0$ 内，当 $0\le x<22$ 时 $L'(x)>0$；当 $x>22$ 时 $L'(x)<0$。因此利润函数先增加后减少，在 $x=22$ 处取得最大值。
答：产量为22件时可以获得最大利润。
$$R(x)=x\left(30-\frac{x}{2}\right)=30x-\frac12x^2.$$
利润函数为
$$L(x)=R(x)-C(x)=-\frac23x^3+\frac{43}{2}x^2+22x-3500.$$
求导得
$$L'(x)=-2x^2+43x+22=-(2x+1)(x-22).$$
在实际范围 $x\ge0$ 内，当 $0\le x<22$ 时 $L'(x)>0$；当 $x>22$ 时 $L'(x)<0$。因此利润函数先增加后减少，在 $x=22$ 处取得最大值。
答：产量为22件时可以获得最大利润。