综合题与应用题 / 构造辅助函数证明 / 常规计算与结论整理
$f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=\dfrac1{\alpha+1}$。证明：在 $(0,1)$ 内存在不同的两点 $\xi_1,\xi_2$，使得 $f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\xi_1^{\alpha}+\xi_2^{\alpha}$。
正确答案
证明见解析
题目解析
设 $F(x)=f(x)-\dfrac1{\alpha+1}x^{\alpha+1}$，则 $F(0)=F(1)=0$，且 $F'(x)=f'(x)-x^{\alpha}$。由拉格朗日中值定理，在 $(0,\frac12)$ 内存在 $\xi_1$，在 $(\frac12,1)$ 内存在 $\xi_2$，使 $F'(\xi_1)=2F(\frac12)$，$F'(\xi_2)=-2F(\frac12)$，故 $F'(\xi_1)+F'(\xi_2)=0$，即 $f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\xi_1^{\alpha}+\xi_2^{\alpha}$。