综合题与应用题 / 构造辅助函数证明 / 常规计算与结论整理
已知方程 $4x+3x^3-x^5=0$ 有一负根 $x=-2$，证明方程 $4+9x^2-5x^4=0$ 必有一个大于 $-2$ 的负根。
正确答案
对 $f(x)=4x+3x^3-x^5$ 在 $[-2,0]$ 上用罗尔定理。
题目解析
令 $f(x)=4x+3x^3-x^5$，则 $f(-2)=0,f(0)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(-2,0)$，使 $f'(\xi)=4+9\xi^2-5\xi^4=0$，故结论成立。