综合题与应用题 / 实际应用建模 / 常规计算与结论整理
某新能源汽车在直道上以 $15m/s$ 的速度行驶，看到路障需要立即减速停车，已知减速直线运动的速度 $v$ 是路程 $s$ 对时间 $t$ 的导数，加速度 $a$ 又是速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，假设汽车刹车后匀减速行驶 $45m$ 停止，求在减速过程中汽车的路程 $s$ 关于时间 $t$ 的函数表达式.
正确答案
$s=-\dfrac54t^2+15t$
题目解析
【解】设汽车刹车后的加速度为常数 $a$，停车所用时间为 $T$。初速度为 $15\,m/s$，且 $s(0)=0$，所以
$$v(t)=15+at,$$
$$s(t)=15t+\frac12at^2.$$
汽车在 $t=T$ 时停车并行驶45米，因此
$$15+aT=0,\qquad15T+\frac12aT^2=45.$$
由第一式得 $aT=-15$，代入第二式：
$$15T-\frac{15}{2}T=45,$$
解得 $T=6$，进而 $a=-\dfrac{15}{6}=-\dfrac52$。
故减速过程中路程关于时间的函数为
$$s(t)=15t-\frac54t^2,\quad0\le t\le6.$$
$$v(t)=15+at,$$
$$s(t)=15t+\frac12at^2.$$
汽车在 $t=T$ 时停车并行驶45米，因此
$$15+aT=0,\qquad15T+\frac12aT^2=45.$$
由第一式得 $aT=-15$，代入第二式：
$$15T-\frac{15}{2}T=45,$$
解得 $T=6$，进而 $a=-\dfrac{15}{6}=-\dfrac52$。
故减速过程中路程关于时间的函数为
$$s(t)=15t-\frac54t^2,\quad0\le t\le6.$$