综合题与应用题 / 中值定理证明 / 构造辅助函数并使用中值定理
设$f \left(x\right)$是定义在$\left[- \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4}\right]$上的连续奇函数，且在$\left(- \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4}\right)$内可导，证明：至少存在一点$\xi \in \left(- \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4}\right)$，使得$f ' \left(\xi\right) \sin 2 \xi = - 2 f \left(\xi\right)$.
正确答案
证明见解析
题目解析
令 $F(x)=f(x)\tan x$。因 $f$ 为奇函数，$\tan x$ 也为奇函数，所以 $F(x)$ 为偶函数，故 $F(-\pi/4)=F(\pi/4)$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(-\pi/4,\pi/4)$，使 $F'(\xi)=0$。即 $f'(\xi)\tan\xi+f(\xi)\sec^2\xi=0$，两边乘以 $\cos^2\xi$，得 $f'(\xi)\sin\xi\cos\xi+f(\xi)=0$，故 $f'(\xi)\sin2\xi=-2f(\xi)$。