综合题与应用题 / 中值定理证明 / 构造辅助函数并使用中值定理
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=2$。证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=2\xi+1$ 成立。
正确答案
证明见解析。
题目解析
【证明】令 $F(x)=f(x)-x^2-x$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。由 $f(0)=0, f(1)=2$，得 $F(0)=0$，$F(1)=2-1-1=0$。由罗尔定理可知，至少存在一点 $\xi\in(0,1)$，使 $F'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)-2\xi-1=0$，故 $f'(\xi)=2\xi+1$。