综合题与应用题 / 中值定理证明 / 构造辅助函数并使用中值定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$f(a)=a$，$f(b)=b$，且 $x\in[a,b]$ 时 $f(x)\ne0$。证明：至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得 $f(\xi)=\xi\cdot f'(\xi)$。
正确答案
构造 $F(x)=\dfrac{x}{f(x)}$，由罗尔定理可证。
题目解析
令 $F(x)=\dfrac{x}{f(x)}$，则 $F(a)=F(b)=1$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$，即 $\dfrac{f(\xi)-\xi f'(\xi)}{f^2(\xi)}=0$，故 $f(\xi)=\xi f'(\xi)$。