一元函数积分学 / 面积与旋转体体积 / 常规计算与结论整理
过点 $M(3,0)$ 作曲线 $y=\ln(x-3)$ 的切线，该切线与此曲线及 $x$ 轴围成一平面图形 $D$，试求平面图形 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
正确答案
$2\pi-\dfrac{2\pi e}{3}$
题目解析
切点为 $(e+3,1)$，切线为 $y=(x-3)/e$。令 $u=x-3$，体积为 $\pi\int_0^e\dfrac{u^2}{e^2}du-\pi\int_1^e(\ln u)^2du=2\pi-\dfrac{2\pi e}{3}$。