设 $f(x)=\ln x$，在 $[n,m]$ 上用拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(n,m)$，使 $\ln m-\ln n=\dfrac1\xi(m-n)$。由 $n<\xi<m$ 得 $\dfrac1m<\dfrac1\xi<\dfrac1n$，两边同乘 $m-n>0$，即 $\dfrac{m-n}{m}<\ln\dfrac mn<\dfrac{m-n}{n}$。