【解】这是一个 $\dfrac{0}{0}$ 型未定式极限。首先对分母进行有理化处理，或利用等价无穷小替换简化分子。

分子部分：当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，故 $x^2(e^x-1) \sim x^3$。

分母部分：
$$ \sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+x} = \dfrac{(1+\tan x) - (1+x)}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+x}} = \dfrac{\tan x - x}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+x}}. $$
当 $x \to 0$ 时，分母中的根式部分趋于 $\sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$。
对于分子中的 $\tan x - x$，利用泰勒公式或洛必达法则可知其主部。由泰勒展开 $\tan x = x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)$，故 $\tan x - x \sim \dfrac{1}{3}x^3$。

原极限可化为：
$$ \begin{aligned} L &= \lim_{x\to0} \dfrac{x^2(e^x-1)}{\dfrac{\tan x - x}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+x}}} \\ &= \lim_{x\to0} \dfrac{x^2 \cdot x \cdot (\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+x})}{\tan x - x} \\ &= \lim_{x\to0} \dfrac{x^3 \cdot 2}{\dfrac{1}{3}x^3} \\ &= 2 \cdot 3 = 6. \end{aligned} $$
或者使用洛必达法则结合等价替换：
原式 $= \lim_{x\to0} \dfrac{x^3}{\tan x - x} \cdot \lim_{x\to0}(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+x}) = \lim_{x\to0} \dfrac{3x^2}{\sec^2 x - 1} \cdot 2 = \lim_{x\to0} \dfrac{3x^2}{\tan^2 x} \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6$。
因此，该极限的值为 $6$。