【解】首先求曲线 $y=x^n$ 与 $y=x^{n+1}$ 在区间 $[0,1]$ 上围成的面积 $a_n$。由于在 $(0,1)$ 内 $x^n > x^{n+1}$，故
$$a_n = \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx = \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} - \dfrac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}.$$
考察级数通项 $u_n = \sqrt{n} a_n = \dfrac{\sqrt{n}}{(n+1)(n+2)}$。当 $n \to \infty$ 时，
$$u_n \sim \dfrac{\sqrt{n}}{n^2} = \dfrac{1}{n^{3/2}}.$$
取比较对象为 $p$-级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{3/2}}$，其中 $p=\dfrac{3}{2} > 1$，该级数收敛。由极限审敛法，
$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{1/n^{3/2}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{3/2} \cdot \sqrt{n}}{(n+1)(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{n^2+3n+2} = 1.$$
因为极限存在且为非零常数，故原级数与 $\sum \dfrac{1}{n^{3/2}}$ 同敛散。因此，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt n\,a_n$ 收敛。