【解】识别被积函数形式，采用凑微分法（第一类换元法）计算。注意到分子 $x dx$ 是分母根号内函数 $x^2-1$ 的微分的一半，即 $d(x^2-1) = 2x dx$，故 $x dx = \dfrac{1}{2} d(x^2-1)$。
代入不定积分公式：
$$\int \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \cdot \dfrac{1}{2} d(x^2-1).$$
令 $u = x^2-1$，则原式化为
$$\dfrac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{u} + C.$$
将 $u = x^2-1$ 代回，得
$$\sqrt{x^2-1} + C.$$
故不定积分的结果为 $\sqrt{x^2-1}+C$。