【解】积分区域 $D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4\}$ 为圆环域，采用极坐标变换。
令 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则 $1\le r\le 2, 0\le \theta\le 2\pi$，且 $dxdy=r\,drd\theta$。
被积函数化为：
$$\ln\sqrt{x^2+y^2} = \ln r.$$
代入二重积分公式：
$$I = \iint_D \ln r \, dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 (\ln r) \cdot r \, dr.$$
先计算对 $r$ 的积分，使用分部积分法：
$$\int_1^2 r\ln r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2}\ln r \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{r^2}{2} \cdot \frac{1}{r} \, dr = \left( 2\ln 2 - 0 \right) - \frac{1}{2}\int_1^2 r \, dr$$
$$= 2\ln 2 - \frac{1}{2}\left[ \frac{r^2}{2} \right]_1^2 = 2\ln 2 - \frac{1}{2}\left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 2\ln 2 - \frac{3}{4}.$$
再计算对 $\theta$ 的积分：
$$I = \int_0^{2\pi} d\theta \cdot \left( 2\ln 2 - \frac{3}{4} \right) = 2\pi \left( 2\ln 2 - \frac{3}{4} \right) = 4\pi\ln 2 - \frac{3\pi}{2}.$$
因此，原积分值为 $4\pi\ln2-\dfrac{3\pi}2$。