【解】设 $P(x,y)=y(1+x^2)=y+x^2y$，$Q(x,y)=x(1-y^2)=x-xy^2$。
曲线 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$，取逆时针方向，围成区域 $D: x^2+y^2\le 1$。
计算偏导数：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1-y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1+x^2.$$
由格林公式 $\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$，得：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (1-y^2) - (1+x^2) = -(x^2+y^2).$$
故原积分化为：
$$I = \iint_D -(x^2+y^2) \, dxdy.$$
利用极坐标计算，$x^2+y^2=r^2$，$dxdy=r\,drd\theta$，区域 $D$ 对应 $0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi$：
$$I = -\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr = -2\pi \int_0^1 r^3 \, dr.$$
计算定积分：
$$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}.$$
所以：
$$I = -2\pi \cdot \frac{1}{4} = -\frac{\pi}{2}.$$
因此，曲线积分的结果为 $-\dfrac\pi2$。