【解】原方程 $xy' - y = x^3$ 可变形为标准的一阶线性微分方程形式。两边同除以 $x$（设 $x \neq 0$），得
$$y' - \dfrac{1}{x}y = x^2.$$
这是一阶线性非齐次微分方程 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = -\dfrac{1}{x}$，$Q(x) = x^2$。
先求积分因子：
$$e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{1}{x}dx} = e^{-\ln|x|} = \dfrac{1}{x}.$$
利用通解公式：
$$y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C \right) = x \left( \int x^2 \cdot \dfrac{1}{x} dx + C \right).$$
计算括号内的积分：
$$\int x dx = \dfrac{1}{2}x^2.$$
代入得
$$y = x \left( \dfrac{1}{2}x^2 + C \right) = \dfrac{1}{2}x^3 + Cx.$$
故方程的通解为 $y=\dfrac12x^3+Cx$。