多元函数微积分 / 方向导数与梯度 / 概念辨析或快速代入排除
函数$f \left(x , y , z\right) = x^{3} - y^{2} - z^{3}$在点$\left(1 , - 1 , 1\right)$处的梯度为（ ）
正确答案
A
题目解析
【解析】梯度 $
abla f=(f_x,f_y,f_z)$。计算偏导数：$f_x=3x^2$，$f_y=-2y$，$f_z=-3z^2$。代入点 $(1,-1,1)$ 得 $f_x(1,-1,1)=3\cdot1^2=3$，$f_y(1,-1,1)=-2\cdot(-1)=2$，$f_z(1,-1,1)=-3\cdot1^2=-3$，故梯度为 $3\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$，对应选项 A。选项 B 错误（$f_y$ 符号错）；C、D 中 $f_z$ 符号或 $f_y$ 符号错误。
abla f=(f_x,f_y,f_z)$。计算偏导数：$f_x=3x^2$，$f_y=-2y$，$f_z=-3z^2$。代入点 $(1,-1,1)$ 得 $f_x(1,-1,1)=3\cdot1^2=3$，$f_y(1,-1,1)=-2\cdot(-1)=2$，$f_z(1,-1,1)=-3\cdot1^2=-3$，故梯度为 $3\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$，对应选项 A。选项 B 错误（$f_y$ 符号错）；C、D 中 $f_z$ 符号或 $f_y$ 符号错误。