设 $P(x,y)=x-3y$，$Q(x,y)=3x+7y^2$，则 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}=3$，$\dfrac{\partial P}{\partial y}=-3$，故 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=6$。由格林公式，$$\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right) d\sigma=\iint_D 6\,d\sigma=6\cdot \text{区域 }D\text{ 面积}$$。其中 $D$ 为圆 $x^2+y^2\leq 25$，面积为 $\pi\cdot 5^2=25\pi$，所以积分值为 $6\times 25\pi=150\pi$。故答案为 $150\pi$。