【答案】C。【解析】由 $z = x^2 - 2xy - y^2$，先求一阶偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x - 2y$；再对 $y$ 求偏导得混合偏导数：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - 2y) = -2$。该结果为常数，与点无关，故在 $(1,2)$ 处值仍为 $-2$。选项中 C 对应 $-2$，故选 C。