【解】设 $g(x)=\dfrac{f(-x)-f(x)}{3}$。计算 $g(-x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{3}=-\dfrac{f(-x)-f(x)}{3}=-g(x)$，故 $g(x)$ 是奇函数。选项 A 正确。干扰项分析：B 错误，因 $g(-x)=-g(x)\ne g(x)$（除非 $g\equiv0$，但题干未限定）；C 错误，因已证奇性；D 错误，因对任意定义在对称区间上的 $f$，该表达式恒为奇函数，无需额外条件。