【解】将被积函数拆项：$$\int\left(\dfrac{3}{1+x^2}-\dfrac{2+\ln x}{x\ln x}\right)dx = \int\dfrac{3}{1+x^2}\,dx - \int\dfrac{2}{x\ln x}\,dx - \int\dfrac{\ln x}{x\ln x}\,dx.$$ 第一项：$\int\dfrac{3}{1+x^2}\,dx = 3\arctan x$；第二项：令 $u=\ln x$，则 $du=\dfrac{1}{x}dx$，故 $\int\dfrac{2}{x\ln x}\,dx = 2\int\dfrac{1}{u}\,du = 2\ln|u| = 2\ln|\ln x|$；第三项：$\int\dfrac{\ln x}{x\ln x}\,dx = \int\dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|$，因 $x>0$（$\ln x$ 定义域要求），故为 $\ln x$。综上，原不定积分为 $3\arctan x - 2\ln|\ln x| - \ln x + C$。