【解】由方程 $\sin(x+3y-2z)=x+3y-2z$，记 $u=x+3y-2z$，则方程化为 $\sin u=u$。该方程仅在 $u=0$ 时成立（因 $\sin u-u=0$ 的唯一实根为 $u=0$，由导数分析知函数 $\sin u-u$ 严格递减且仅在 $u=0$ 处为零）。故必有 $x+3y-2z=0$，即 $z=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}y$。于是 $$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2},\quad \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{3}{2}.$$