一元函数积分学 / 面积与旋转体体积 / 常规计算与结论整理
已知曲线 $y=2\sin x$，$x\in[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2]$。
(1) 求该曲线与 $x$ 轴围成的图形 $D$ 面积；
(2) 求图形 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.
(1) 求该曲线与 $x$ 轴围成的图形 $D$ 面积；
(2) 求图形 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.
正确答案
(1) 4；(2) $2\pi^2$
题目解析
【解】曲线 $y=2\sin x$ 在原点两侧关于原点对称。
（1）区域 $D$ 的面积为
$$S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|2\sin x|\,dx=2\int_0^{\pi/2}2\sin x\,dx=4.$$
（2）区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周，利用圆盘法得体积
$$V=\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(2\sin x)^2\,dx=4\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2x\,dx.$$
因为 $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2x\,dx=\dfrac\pi2$，所以
$$V=4\pi\cdot\frac\pi2=2\pi^2.$$
故区域面积为 $4$，旋转体体积为 $2\pi^2$。
（1）区域 $D$ 的面积为
$$S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|2\sin x|\,dx=2\int_0^{\pi/2}2\sin x\,dx=4.$$
（2）区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周，利用圆盘法得体积
$$V=\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(2\sin x)^2\,dx=4\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2x\,dx.$$
因为 $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2x\,dx=\dfrac\pi2$，所以
$$V=4\pi\cdot\frac\pi2=2\pi^2.$$
故区域面积为 $4$，旋转体体积为 $2\pi^2$。