【证明】令 $F(x)=\ln^2x$。因为 $e<a<b<e^3$，所以 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导。
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$\ln^2b-\ln^2a=F'(\xi)(b-a)=\frac{2\ln\xi}{\xi}(b-a).$$
再令 $g(x)=\dfrac{2\ln x}{x}$，则
$$g'(x)=\frac{2(1-\ln x)}{x^2}<0,\quad x>e,$$
故 $g(x)$ 在 $(e,e^3)$ 上严格单调递减。由于 $\xi<e^3$，有
$$\frac{2\ln\xi}{\xi}>\frac{2\ln(e^3)}{e^3}=\frac6{e^3}.$$
又因为 $b-a>0$，所以
$$\ln^2b-\ln^2a>\frac{6(b-a)}{e^3}.$$
原不等式得证。