【解】积分区域 $D$ 为矩形：$0\le x\le3$，$1\le y\le5$，被积函数可分离变量：$$\dfrac{x\ln y}{y\sqrt{x^2+1}} = \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)\left(\dfrac{\ln y}{y}\right).$$ 故二重积分可化为累次积分：$$\iint_D \dfrac{x\ln y}{y\sqrt{x^2+1}}\,dxdy = \int_0^3 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx \cdot \int_1^5 \dfrac{\ln y}{y}\,dy.$$ 计算第一部分：令 $u=x^2+1$，则 $du=2x\,dx$，即 $x\,dx=\frac{1}{2}du$，当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=3$ 时 $u=10$，故 $$\int_0^3 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^{10} u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2}\Big|_1^{10} = \sqrt{10} - 1.$$ 计算第二部分：令 $v=\ln y$，则 $dv=\frac{1}{y}dy$，当 $y=1$ 时 $v=0$，$y=5$ 时 $v=\ln 5$，故 $$\int_1^5 \dfrac{\ln y}{y}\,dy = \int_0^{\ln 5} v\,dv = \frac{1}{2}v^2\Big|_0^{\ln 5} = \frac{1}{2}(\ln 5)^2.$$ 两部分相乘得结果：$\dfrac{(\sqrt{10}-1)(\ln^2 5)}{2}$。