【解析】由 $f(x)=e^x$，得 $f(\ln x)=e^{\ln x}=x$（$x>0$）。代入被积函数：$\dfrac{f(\ln x)}{x^2}+1=\dfrac{x}{x^2}+1=\dfrac{1}{x}+1$。故 $\int\left(\dfrac{1}{x}+1\right)dx=\ln|x|+x+C$，因积分定义域为 $x>0$，故为 $\ln x+x+C$。选项 A 正确。选项 B 符号错误；C、D 中 $\dfrac{1}{x}$ 或 $-\dfrac{1}{x}$ 与原式不符。