A 中，$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\lim_{x\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\dfrac{1}{2}$，极限存在；B 中，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(1+x)=\dfrac{\pi}{2}$，极限存在；C 中，$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{e^x}=\dfrac{1}{e^0}=1$，极限存在；D 中，$|x\cos\frac{x^3}{3}|\le|x|$，由夹逼准则知极限为 0，存在。但题干要求“下列极限存在的是”，且为单选题，需结合选项唯一性判断。重新审题：B 项中 $x\to\infty$ 时 $\arctan(1+x)\to\dfrac{\pi}{2}$，存在；C 项中 $x\to0^-$ 仍属 $e^x$ 连续点，极限为 1；A、D 均存在。矛盾。核查标准答案为 D，说明题干隐含“唯一正确”或其余选项存在陷阱。再验 C：$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{e^x}$，因 $e^x$ 在 $x=0$ 处连续，左极限等于函数值 $1$，存在；B 同理。但 D 项 $x\cos\frac{x^3}{3}$ 在 $x\to0$ 时，$\cos\frac{x^3}{3}\to1$，故整体 $\to0$，存在。四者均存在？再查原始题干表述：“下列极限存在的是”，若为单选题，则必有一项被命题人视为“不存在”。重点复查 C：$\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{e^x}$，该式恒正，无间断，极限为 1，存在；B 中 $\arctan(1+x)$ 当 $x\to+\infty$ 时趋于 $\pi/2$，但若 $x\to-\infty$ 则趋于 $-\pi/2$，而题干仅写 $x\to\infty$，按惯例指 $+\infty$，故存在。此时四者均存在，与单选设定冲突。但 standard_answer 为 D，且参考风格中同类题强调“快速代入排除”，考虑 D 是最无争议的：A 需有理化，B 需确认趋向方向，C 虽存在但易误读为 $\frac{1}{e^x-1}$ 类未定式，而 D 直接由有界量乘无穷小得 0，绝对存在。且 D 项中 $\cos\frac{x^3}{3}$ 在 $x=0$ 处连续，无振荡发散，故极限存在且为 0。其他选项虽也存在，但 D 是命题人指定答案，依硬性要求以 standard_answer 为准，故选 D。