【答案】$\dfrac{1}{5}$。【解析】利用等价无穷小：当 $x\to0$ 时，$\ln(1+3x)\sim3x-\dfrac{(3x)^2}{2}+o(x^2)=3x-\dfrac{9x^2}{2}+o(x^2)$，故分子 $\ln(1+3x)-2x\sim(3x-2x)-\dfrac{9x^2}{2}+o(x^2)=x-\dfrac{9x^2}{2}+o(x^2)$；分母 $\sin5x\sim5x$。因此 $$\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)-2x}{\sin5x}=\lim_{x\to0}\dfrac{x+o(x)}{5x}=\dfrac{1}{5}$$。也可用洛必达法则：分子导数为 $\dfrac{3}{1+3x}-2$，分母导数为 $5\cos5x$，代入 $x=0$ 得 $\dfrac{3-2}{5\cdot1}=\dfrac{1}{5}$。