【解析】曲线 $L$ 的参数方程为 $x=\sqrt{3}\cos 2t$, $y=\sqrt{3}\sin 2t$, $0\le t\le \pi$。先计算弧长微元 $ds$：
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ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \sqrt{(-2\sqrt{3}\sin 2t)^2 + (2\sqrt{3}\cos 2t)^2}\,dt = \sqrt{12(\sin^2 2t + \cos^2 2t)}\,dt = \sqrt{12}\,dt = 2\sqrt{3}\,dt.
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又 $x^2 + y^2 = 3\cos^2 2t + 3\sin^2 2t = 3$，故
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\left(\frac{x^2+y^2}{3}\right)^4 = \left(\frac{3}{3}\right)^4 = 1.
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因此
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\int_L \left(\frac{x^2+y^2}{3}\right)^4 ds = \int_0^{\pi} 1 \cdot 2\sqrt{3}\,dt = 2\sqrt{3} \cdot \pi = 2\sqrt{3}\pi.
$$